left| begin{matrix} sin alpha & cos alpha & s | vedclass

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Question

(D) माना सारणिक $\Delta = \left| \begin{matrix} \sin \alpha & \cos \alpha & \sin(\alpha + \gamma) \ \sin \beta & \cos \beta & \sin(\beta + \gamma) \

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(D) माना सारणिक $\Delta = \left| \begin{matrix} \sin \alpha & \cos \alpha & \sin(\alpha + \gamma) \ \sin \beta & \cos \beta & \sin(\beta + \gamma) \ \sin \delta & \cos \delta & \sin(\delta + \gamma) \end{matrix} ight|$ है।त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ का उपयोग करके,हम तीसरे स्तंभ का विस्तार कर सकते हैं:$\sin(\alpha + \gamma) = \sin \alpha \cos \gamma + \cos \alpha \sin \gamma$$\sin(\beta + \gamma) = \sin \beta \cos \gamma + \cos \beta \sin \gamma$$\sin(\delta + \gamma) = \sin \delta \cos \gamma + \cos \delta \sin \gamma$अब,सारणिक इस प्रकार होगा:$\Delta = \left| \begin{matrix} \sin \alpha & \cos \alpha & \sin \alpha \cos \gamma + \cos \alpha \sin \gamma \ \sin \beta & \cos \beta & \sin \beta \cos \gamma + \cos \beta \sin \gamma \ \sin \delta & \cos \delta & \sin \delta \cos \gamma + \cos \delta \sin \gamma \end{matrix} ight|$.स्तंभ संक्रिया $C_3 ightarrow C_3 - (\cos \gamma) C_1 - (\sin \gamma) C_2$ लागू करें:तीसरे स्तंभ का प्रत्येक अवयव $(\sin 	heta \cos \gamma + \cos 	heta \sin \gamma) - (\cos \gamma)(\sin 	heta) - (\sin \gamma)(\cos 	heta) = 0$ हो जाएगा।चूंकि तीसरे स्तंभ के सभी अवयव $0$ हैं,इसलिए सारणिक का मान $\Delta = 0$ है।

$\left| \begin{matrix} \sin \alpha & \cos \alpha & \sin(\alpha + \gamma) \\ \sin \beta & \cos \beta & \sin(\beta + \gamma) \\ \sin \delta & \cos \delta & \sin(\delta + \gamma) \end{matrix} \right|$ का मान क्या है?

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सारणिक $\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&1&1\\{\cos (nx)}&{\cos (n + 1)x}&{\cos (n + 2)x}\\{\sin (nx)}&{\sin (n + 1)x}&{\sin (n + 2)x}\end{array}} \right|$ का मान किससे स्वतंत्र है?

सिद्ध कीजिए कि $\left|\begin{array}{ccc}a & b & c \\ a+2x & b+2y & c+2z \\ x & y & z\end{array}\right|=0$.

यदि ${D_r} = \left| \begin{array}{ccc} {2^{r - 1}} & {2 \cdot 3^{r - 1}} & {4 \cdot 5^{r - 1}} \\ x & y & z \\ {2^n} - 1 & {3^n} - 1 & {5^n} - 1 \end{array} \right|$ है,तो $\sum\limits_{r = 1}^n {D_r} = $ का मान ज्ञात कीजिए।

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